第9讲：函数递归

XingJiのBlog2024-05-062024-08-30

正文开始

递归是什么？

递归是学习 C 语言函数绕不开的一个话题，那什么是递归呢？

递归其实是一种解决问题的方法，在 C 语言中，递归就是函数自己调用自己。

写一个史上最简单的 C 语言递归代码：(>这是一个错误的示范，会导致死循环，导致栈溢出。)

#include <stdio.h>
int main()
{
	printf("hehe\n");
	main();//main函数中又调用了main函数
	return 0;
}

运行结果:

hehe
hehe
hehe
hehe
hehe
hehe
hehe
 *
 *
 *   //死循环打印hehe

这个代码的作用是什么呢？

它会导致死循环，导致栈溢出。
它没有任何意义，只是打印”hehe”

上述就是一个简单的递归程序，只不过上面的递归只是为了演示递归的基本形式，不是为了解决问题，代码最终也会陷入死递归，导致栈溢出（Stackoverflow）。

所以，递归的基本形式是：每一次函数调用，都会在栈上开辟一块内存，当递归层数太多时，会导致栈溢出。

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递归的思想：

递归的思想是：把一个大型复杂问题——》分解成规模较小的子问题来求解

递归中的递就是递推的意思，归就是回归的意思。

递归的限制条件

递归在书写的时候，有 2 个必要条件：

递归存在限制条件，当满足这个限制条件的时候，递归便不再继续。
每次递归调用之后越来越接近这个限制条件。

在下面的例子中，我们逐步体会这 2 个限制条件。

递归举例

举例 1 ：求 n 的阶乘

一个正整数的阶乘（ factorial ）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且 0 的阶乘为 1 。自然数 n 的阶乘写作 n!。
题目：计算 n 的阶乘（不考虑溢出），n 的阶乘就是 1~n 的数字累积相乘。

分析和代码实现

我们知道 n 的阶乘的公式：n ！=^ n ∗( n −^1 )!

举例：
     5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
     4! = 4 * 3 * 2 * 1
所以: 5! = 5 * 4!

这样的思路就是把一个较大的问题，转换为一个与原问题相似，但规模较小的问题来求解的。

当 n==0 的时候，n 的阶乘是 1 ，其余 n 的阶乘都是可以通过公式计算。

n 的阶乘的递归公式如下：

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那我们就可以写出函数 Fact 求 n 的阶乘，假设 Fact(n)就是求 n 的阶乘，那么 Fact(n-1)就是求 n-1 的阶乘，函数如下：

int Fact(int n)
{
	if (n == 0)
		return 1;
	else
		return n * Fact(n - 1);
}

测试：

#include <stdio.h>

/*
* 函数名: Fact
* 功能: 计算给定数的阶乘
* 参数:
*    - n: int类型，要计算阶乘的非负整数
* 返回值: 
*    - int类型，n的阶乘值。如果n为0，则返回1。
*/

int Fact(int n)
{
    if (n == 0) // 当输入为0时，返回1
        return 1;
    else
        return n * Fact(n - 1); // 递归调用，计算n的阶乘
}

int main()
{
    int n = 0;
    scanf("%d", &n); // 从标准输入读取一个整数
    int ret = Fact(n); // 调用Fact函数，计算输入整数的阶乘
    printf("%d\n", ret); // 输出计算结果
    return 0;
}

运行结果:（这里不考虑 n 太大的情况，n 太大存在溢出）：

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画图推演

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举例 2 ：顺序打印一个整数的每一位

输入一个整数 m，按照顺序打印整数的每一位。

比如：

1
2
3

输入：1234 输出：1 2 3 4

输入：520 输出：5 2 0

分析和代码实现

这个题目，放在我们面前，首先想到的是，怎么得到这个数的每一位呢？

1 2	如果n是一位数，n的每一位就是n自己 n是超过 1 位数的话，就得拆分每一位

1234%10就能得到 4 ，然后1234/10得到 123 ，这就相当于去掉了 4
然后继续对123%10，就得到了 3 ，再除 10 去掉 3 ，以此类推
不断的%10和/10操作，直到 1234 的每一位都得到；
但是这里有个问题就是得到的数字顺序是倒着的

//假设n是1234
1234 % 10 = 4
1234 / 10 = 123
123 % 10 = 3
123 / 10 = 12
12 % 10 = 2
12 / 10 = 1
1 % 10 = 1
1 / 10 = 0

但是我们有了灵感，我们发现其实一个数字的最低位是最容易得到的，通过% 10 就能得到那我们假设想写一个函数 Print 来打印 n 的每一位，如下表示：

Print(n)
如果n是 1234 ，那表示为
Print( 1234 ) //打印 1234 的每一位

其中 1234 中的 4 可以通过% 10 得到，那么
Print( 1234 )就可以拆分为两步：
1. Print( 1234 / 10 ) //打印 123 的每一位
2. printf( 1234 % 10 ) //打印 4
完成上述 2 步，那就完成了 1234 每一位的打印

那么Print( 123 )又可以拆分为Print( 123 / 10 ) + printf( 123 % 10 )

以此类推下去，就有

   Print( 1234 )
==>Print( 123 )                  + printf( 4 )
==>Print( 12 )       + printf( 3 )
==>Print( 1 ) + printf( 2 )
==>printf( 1 )

直到被打印的数字变成一位数的时候，就不需要再拆分，递归结束。那么代码完成也就比较清楚：

/**
 * Print - 递归打印整数的每一位
 * @param n: 待打印的整数
 * 
 * 该函数通过递归的方式，从高位到低位打印出整数n的每一位数字。
 * 每个数字之间以一个空格分隔。
 */
void Print(int n)
{
    // 当n大于9时，递归打印n的每一位
    if(n > 9)
    {
        Print(n / 10);
    }
    // 打印n的最低位，并在后面加上一个空格
    printf("%d ", n % 10);
}

int main()
{
    int n = 0;
    // 从标准输入读取一个整数
    scanf("%d", &n);
    // 调用Print函数打印输入的整数的每一位
    Print(n);
    return 0;
}

输入和输出结果：

1
2

123
1 2 3

在这个解题的过程中，我们就是使用了大事化小的思路

把 Print(1234)打印 1234 每一位，拆解为首先 Print(123)打印 123 的每一位，再打印得到的 4
把 Print(123)打印 123 每一位，拆解为首先 Print(12)打印 12 的每一位，再打印得到的 3
直到 Print 打印的是一位数，直接打印就行。

画图推演

以 1234 每一位的打印来推演一下

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递归与迭代

递归是一种很好的编程技巧，但是和很多技巧一样，也是可能被误用的，就像举例 1 一样，看到推导的
公式，很容易就被写成递归的形式：

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int Fact(int n)
{
   if(n== 0 )
       return 1 ;
   else
       return n*Fact(n-1);
}

Fact 函数是可以产生正确的结果，但是在递归函数调用的过程中涉及一些运行时的开销。

递归函数调用的过程，是栈的一种数据结构，每一次函数调用，都会在栈上开辟一块内存，当递归层数太多时，会导致栈溢出。
在 C 语言中每一次函数调用，都需要为本次函数调用在内存的栈区，申请一块内存空间来保存函数调用期间的各种局部变量的值，这块空间被称为 运行时堆栈 ，或者 函数栈帧 。
函数不返回，函数对应的栈帧空间就一直占用，所以如果函数调用中存在递归调用的话，每一次递归函数调用都会开辟属于自己的栈帧空间，直到函数递归不再继续，开始回归，才逐层释放栈帧空间。
所以如果采用函数递归的方式完成代码，递归层次太深，就会浪费太多的栈帧空间，也可能引起栈溢出（stackoverflow）的问题。

注：关于 函数栈帧 的详细内容，鹏哥录制了视频专⻔讲解的，下课导入课程，自行学习。

所以如果不想使用递归，就得想其他的办法，通常就是迭代的方式（通常就是循环的方式）。

比如：计算n的阶乘，也是可以产生1~n的数字累计乘在一起的。

/**
 * 计算给定数的阶乘。
 * 
 * @param n 需要计算阶乘的非负整数。
 * @return 返回 n 的阶乘结果。如果 n 为 0，则结果为 1。
 */
int Fact(int n)
{
    int i = 0; // 初始化循环变量 i 为 0
    int ret = 1; // 初始化结果变量 ret 为 1，用于累积乘积

    // 循环从 1 到 n，将每个数乘以累积的结果
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
      ret *= i; // 累积乘积
    }

    return ret; // 返回最终的累积结果
}

上述代码是能够完成任务，并且效率是比递归的方式更好的。
事实上，我们看到的许多问题是以递归的形式进行解释的，这只是因为它比非递归的形式更加清晰，
但是这些问题的迭代实现往往比递归实现效率更高。
当一个问题非常复杂，难以使用迭代的方式实现时，此时递归实现的简洁性便可以补偿它所带来的运行时开销。

举例 3 ：求第 n 个斐波那契数

我们也能举出更加极端的例子，就像计算第 n 个斐波那契数，是不适合使用递归求解的，但是斐波那契
数的问题通过是使用递归的形式描述的，如下：

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看到这公式，很容易诱导我们将代码写成递归的形式，如下所示：

int Fib(int n)
{
	if (n <= 2)
		return 1;
	else
		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}

测试代码：

#include <stdio.h>
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int ret = Fib(n);
	printf("%d\n", ret);
	return 0;
}

当我们 n 输入为 50 的时候，需要很⻓时间才能算出结果，这个计算所花费的时间，是我们很难接受的，
这也说明递归的写法是非常低效的，那是为什么呢？

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其实递归程序会不断的展开，在展开的过程中，我们很容易就能发现，在递归的过程中会有重复计算，而且递归层次越深，冗余计算就会越多。我们可以作业测试：

#include <stdio.h>
int count = 0; // 用于统计第3个斐波那契数被计算的次数

/**
 * 计算第n个斐波那契数
 * @param n 斐波那契数的序号，从0开始计数
 * @return 返回第n个斐波那契数的值
 */
int Fib(int n)
{
    if (n == 3)
        count++; // 统计第3个斐波那契数被计算的次数
    if (n <= 2)
        return 1; // 当n小于等于2时，直接返回1
    else
        return Fib(n - 1) + Fib(n - 2); // 递归计算第n个斐波那契数
}

int main()
{
    int n = 0;
    scanf("%d", &n); // 从输入读取要计算的斐波那契数的序号
    int ret = Fib(n); // 调用Fib函数计算斐波那契数
    printf("%d\n", ret); // 输出计算结果
    printf("\ncount = %d\n", count); // 输出第3个斐波那契数被计算的次数
    return 0;
}

输出结果：

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这里我们看到了，在计算第 40 个斐波那契数的时候，使用递归方式，第 3 个斐波那契数就被重复计算了
39088169 次，这些计算是非常冗余的。所以斐波那契数的计算，使用递归是非常不明智的，我们就得想迭代的方式解决。

我们知道斐波那契数的前 2 个数都 1 ，然后前 2 个数相加就是第 3 个数，那么我们从前往后，从小到大计算就行了。

这样就有下面的代码：

/**
 * 计算斐波那契数列的第n个数。
 * 
 * @param n 斐波那契数列的位置，从0开始计数。
 * @return 返回斐波那契数列的第n个数值。
 */
int Fib(int n)
{
    // 初始化斐波那契数列的前三个数
	int a = 1;
	int b = 1;
	int c = 1;
	
    // 当n大于2时，循环计算斐波那契数列的值
	while (n > 2)
	{
		c = a + b; // 计算新的斐波那契数值
		a = b;     // 更新a为前一个斐波那契数值
		b = c;     // 更新b为当前斐波那契数值
		n--;       // n减1，继续下一次循环
	}
	return c; // 返回第n个斐波那契数值
}